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Der `!Wilson-Loop`! (oder `!Wilson Line`!) W C {\\displaystyle W_{C}} , benannt nach `F33f`_`[Kenneth Wilson`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kenneth_Wilson]`_`f, einem Pionier der `F33f`_`[Gittereichtheorien`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gittereichtheorie]`_`f, ist ein `F33f`_`[Erwartungswert`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Erwartungswert]`_`f eines `F33f`_`[Operators`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Operator_(Mathematik)]`_`f in `F33f`_`[Eichtheorien`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Eichtheorie]`_`f, der zur Unterscheidung der unterschiedlichen Phasen der Theorie dient.

>>Contents

• `F0af`_`[Definition`#definition]`_`f

• `F0af`_`[Anwendung`#anwendung]`_`f

• `F0af`_`[Gittereichtheorien`#gittereichtheorien]`_`f

• `F0af`_`[Elektrodynamik`#elektrodynamik]`_`f

• `F0af`_`[Stringtheorie und Quantengravitation`#stringtheorie-und-quantengravitation]`_`f

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>>Definition

Der Wilson-Loop wird als eichinvarianter Erwartungswert eines `F33f`_`[Phasenfaktors`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Zustand_(Quantenmechanik)]`_`f definiert, bei der die Feldvariablen der Eichtheorie, die (`F33f`_`[Vierer`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Vierervektor]`_`f-)`F33f`_`[Vektorpotentiale`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Vektorpotential]`_`f A μ μ {\\displaystyle A_{\\mu }} mit Werten in der `F33f`_`[Lie-Algebra`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lie-Algebra]`_`f der zugrundeliegenden `F33f`_`[Lie-Gruppe`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lie-Gruppe]`_`f G {\\displaystyle G} der Eichtheorie, längs eines geschlossenen Weges (englisch `*Loop`*) miteinander multipliziert werden:

W C = T r { P exp ⁡ ⁡ i ∮ ∮ C A μ μ d x μ μ } {\\displaystyle W_{C}=\\mathrm {Tr} \\,\\left\\{{\\mathcal {P}}\\exp i\\oint _{C}A_{\\mu }dx^{\\mu }\\right\\}}

Dabei bezeichnet

• C {\\displaystyle C} den geschlossenen Weg

• P {\\displaystyle {\\mathcal {P}}} , dass das Produkt der Operatoren längs des Weges geordnet ist.

• T r {\\displaystyle Tr} (englisch `*Trace`*) die `F33f`_`[Spur`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spur_(Mathematik)]`_`f bezüglich der `F33f`_`[Eichgruppe`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Eichgruppe]`_`f G {\\displaystyle G} . Wegen der zyklischen Invarianz dieser Spur ist der Operator eichinvariant.

>>Anwendung

>>>Gittereichtheorien

Ein Hauptanwendungsgebiet der Wilson-Loops sind Gittereichtheorien, wo aus ihnen `F33f`_`[Ordnungsparameter`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ordnungsparameter]`_`f für verschiedene Phasenzustände gewonnen werden.

In der `F33f`_`[Quantenchromodynamik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quantenchromodynamik]`_`f beispielsweise (betrachtet als `F33f`_`[Quantenfeldtheorie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quantenfeldtheorie]`_`f auf einem Gitter bei endlicher Temperatur) werden mit den Wilson Loops unterschieden:

• `F33f`_`[Confinement`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Confinement]`_`f-Phasen, wenn sich der Ausdruck im Exponenten in der räumlichen Dimension `*flächenhaft`* verhält (proportional zur umschlossenen Fläche; `*area law`*). Dies kann man sich als Folge der additiven Beiträge vieler farbelektrischer confinement-Flusstuben vorstellen. Das zugehörige Potential nimmt linear mit dem Abstand zu, ähnlich dem `F33f`_`[elastischen Verhalten eines Gummibandes`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Gummielastizität]`_`f.

• `F33f`_`[Deconfinement`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Deconfinement]`_`f-Phasen, wenn sich der Ausdruck im Exponenten in der räumlichen Dimension `*linear`* verhält (proportional zum `*Umfang`* der Schleife C {\\displaystyle C} ; `*circumferential law`*). Hier gibt es `*keine`* Fluss-Beiträge durch die Schleife bzw. sie heben sich im Mittel auf. Das zugehörige Potential verhält sich `*umgekehrt`* proportional zum Abstand, wie in der Elektrodynamik (`F33f`_`[Coulombphase`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Coulombsches_Gesetz]`_`f).

Die Wilson-Loops werden dabei über geschlossene Kurven in der `F33f`_`[Raum-Zeit`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Raum-Zeit]`_`f gebildet, wobei die Zeit `F33f`_`[imaginär`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Imaginäre_Zahl]`_`f angenommen wird, so dass sich ein euklidischer Formalismus ähnlich wie bei der `F33f`_`[statistischen Mechanik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Statistische_Mechanik]`_`f ergibt, nur in `F33f`_`[vier Dimensionen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=4D]`_`f. Dabei ist die entsprechende Temperatur umgekehrt proportional zur Zeit, und es werden periodische `F33f`_`[Randbedingungen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Randbedingung]`_`f angenommen. Die geschlossenen Kurven werden üblicherweise über eine Zeit- und eine Raumrichtung geführt; dann entsprechen die Wilson-Loops im `F33f`_`[Kontinuum`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Kontinuum_(Physik)]`_`f-Limes des Gitters der Berechnung des `F33f`_`[Quark`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quark_(Physik)]`_`f-Antiquark-Potentials. Es werden aber auch rein räumliche Schleifen betrachtet.

>>>Elektrodynamik

In der `F33f`_`[Elektrodynamik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Elektrodynamik]`_`f ist ∮ ∮ C A μ μ d x μ μ {\\displaystyle \\oint _{C}A_{\\mu }dx^{\\mu }} identisch mit dem `F33f`_`[magnetischen Fluss`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Magnetischer_Fluss]`_`f durch die Schleife C {\\displaystyle C} , falls diese räumlich ist, wie sich durch Anwendung des `F33f`_`[Satzes von Stokes`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Satz_von_Stokes]`_`f ergibt.

>>>Stringtheorie und Quantengravitation

Wilson-Loops werden auch in der `F33f`_`[Stringtheorie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stringtheorie]`_`f betrachtet. Hier ergibt sich die Möglichkeit nicht kontraktibler (zusammenziehbarer) Loops in den kompaktifizierten Extra-Dimensionen, je nach deren `F33f`_`[Topologie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Topologie_(Mathematik)]`_`f.

In der `F33f`_`[Loop-Quantengravitation`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Loop-Quantengravitation]`_`f von `F33f`_`[Ashtekar`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ashtekar]`_`f spielen Wilson-Loops eine große Rolle als fundamentale Basiszustände einer `F33f`_`[quantisierten Gravitationstheorie`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Quantengravitation]`_`f. Dort wird ein `F33f`_`[Paralleltransport`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Paralleltransport]`_`f eines Vierbeins längs eines geschlossenen Weges betrachtet. Das ist in direkter Analogie zu den Wilson-Loops in den Eichtheorien, deren Beschreibung mathematisch ähnlich ist (`F33f`_`[Faserbündel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Faserbündel]`_`f mit zugehörigen, den Paralleltransport beschreibenden Zusammenhangsformen ("connections"), die im Fall der Eichtheorien mit den Eichfeldern identisch sind).

Seit den 1990er Jahren wird in der Quantengravitation statt der Wilson-Loops zunehmend der Formalismus der `F33f`_`[Spin-Netzwerke`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Spin-Netzwerk]`_`f verwendet.

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